§ 9

§ 9. Рух

82. Перетворення фігур

Геометричні перетворення – дуже важливий розділ курсу геометрії. Більш за те, у 19 сторіччі математики зрозуміли, що єдиний погляд на всі геометрії можливий з точки зору того, які множини перетворень розглядаються як ті, що не змінюють властивості геометричних фігур. Так, у геометрії Евкліда, яку ми вивчаємо, досліджуються ті властивості геометричних фігур, які не змінюються при рухах фігур (образно кажучи, кожну геометричну фігуру можна розглядати як “тверду”, наприклад, вирізану з картону, і нас цікавлять ті властивості цієї фігури, які не змінюються при зміні її положення). Для кожної з геометрій існує деяка множина геометричних перетворень і у цій геометрії вивчаються ті властивості фігур, які не змінюються при цих перетвореннях. Такий погляд не тільки дозволив навести деякий порядок серед розмаїття створених геометрій, але і пролив світло на кожну геометрію, зокрема, дозволив впорядкувати зміст кожної з геометрій, стимулював нові дослідження. Більш за те, метод геометричних перетворень став найголовнішим та найпродуктивнішим методом як побудови геометрій, так і розв’язування геометричних задач. Математична теорія симетрії, симетрія у живій та неживій природі, мистецтві, архітектурі, інженерії отримали спільне підґрунтя у геометричних перетвореннях. Ідеї геометричних перетворень дуже природні. Між тим, ці теми важко входять у педагогічну практику, особливо у викладання математики в школі. Можливо, брак годин, а також обмеженість наочності викликає ці труднощі. Ми сподіваємось, що можливості пакета

DG у виконанні геометричних перетворень сприяє тому, що Ви відчуєте красу і міць методів геометричних перетворень.

Для засвоєння різних типів геометричних перетворень ми пропонуємо таку загальну схему:

- Практичне ознайомлення з дією перетворення на точку
на основі комп’ютерних експериментів у пакеті

DG, тобто практичне ознайомлення з означенням геометричного перетворення;

- Практичне ознайомлення з дією перетворення на геометричні примітиви
(пряма, промінь, відрізок, коло) на основі комп’ютерних експериментів у пакеті DG;

- Практичне ознайомлення з дією перетворення на многокутники
на основі комп’ютерних експериментів у пакеті DG;

- Розв’язування задач у середовищі пакета
DG з використанням методу геометричних перетворень.

Почнемо з загального визначення геометричного перетворення.

Геометричне перетворення фігури

– це відображення кожної точки геометричної фігури у визначену яким-небудь чином іншу точку площини.
Зауважимо, що роль геометричної фігури може виконувати сама площина. У подальшому ми будемо розглядати перетворення площини.

Розробимо ДК “Перетворення фігур”.

- Почніть конструювання нового ДК
, скориставшись інструментом Створити новий рисунок

;

- Збережіть ДК на диску
, скориставшись командою Файл\Зберегти як;

- Побудуйте дві точки
A та B, скориставшись інструментом Точка
(точку A будемо перетворювати за допомогою геометричного перетворення, координати точки B будуть виконувати роль параметрів геометричного перетворення);

- Побудуйте аналітичну точку
C, скориставшись інструментом Фігури\Аналітично\Точка, у вікні діалогу Точка введіть координати аналітичної точки за формулами: X=A.X+B.X, Y=A.Y+B.Y
(формули відповідають перетворенню паралельного перенесення на вектор OB; паралельне перенесення буде систематично вивчатися в рамках даної теми у наступному);

- Встановіть властивості точки
A, скориставшись вікном діалогу Властивості точки:

- Зовнішній вигляд (форма, розмір, заливка, показати координати)

- Властивості сліду (створювати слід, колір, товщина лінії);

- Встановіть властивості точки

C, скориставшись вікном діалогу Властивості точки:

- Зовнішній вигляд (форма, розмір, заливка, показати координати)

- Властивості сліду (створювати слід, колір, товщина лінії);

У результаті ми повинні отримати ДК, який відповідає наступному рисунку.

Рисунок 9.

1 ДК "Перетворення фігур"

Тепер можна виконувати комп’ютерні експерименти з цим перетворенням.

Будемо реалізовувати наведену вище схему.

Комп’ютерні експерименти з ДК “Геометричні перетворення”

1. Дослідіть дію перетворення на точку

:

- Перетягуйте
точку A за допомогою миші і спостерігайте:

- За кривими, які при цьому утворюються слідами точок
A та C ;

- За координатами рухомих точок
A та C;

- Вилучіть сліди точок
A та C, скориставшись командою Вилучити слід (цю команду можна вибрати або у контекстному меню цих точок або у вікнах діалогу Властивості цих точок);

- Перетягуйте
точку B за допомогою миші і спостерігайте:

- За кривими, які при цьому утворюються слідами точок
B та C ;

- За координатами рухомих точок
B та C;

- Повторіть пункти 1.1 та 1.2 з натиснутою клавішею
Shift – приклад відповідного екрану наведено на рисунку 9.1.

- Зробіть висновки щодо дії на точку геометричного перетворення
паралельного перенесення;

1. Дослідіть дію перетворення на геометричні примітиви
(пряму, промінь, відрізок, коло):

2.1.

Побудуйте геометричні примітиви (пряму, промінь, відрізок, коло);
після цього ДК повинно прийняти вигляд, який відповідає наступному рисунку.

Рисунок 9.

2 ДК "Дія перетворення на геометричні примітиви"

2.2.

Дослідіть дію перетворення на пряму, скориставшись інструментом “Динамічний слід”:

2.2.1.

Підведіть точку A до прямої;

2.2.2.

Прив’яжіть точку A до прямої, скориставшись командою Прив’язати до фігури з контекстного меню точки A;

2.2.3.

Побудуйте динамічний слід точки A, скориставшись інструментом “Динамічний слід”:

2.2.3.1.Вибрати інструмент Динамічний слід на панелі інструментів, клацнути на точці

A, клацнути на точці B;

2.2.4.

Дослідіть дію перетворення на пряму, змінюючи положення точок A та B;

2.3.

Дослідіть дію перетворення на промінь
(аналогічно пункту 2.2 дослідження дії перетворення на пряму);

2.4.

Дослідіть дію перетворення на відрізок
(аналогічно пункту 2.2 дослідження дії перетворення на пряму);

2.5.

Дослідіть дію перетворення на коло
(аналогічно пункту 2.2 дослідження дії перетворення на пряму);

2.6.

Зробіть висновки щодо дії перетворення паралельного перенесення на геометричні примітиви;

2.7.

Проведіть комп’ютерні експерименти з іншими геометричними перетвореннями (для цього аналітичну точку C треба задати іншими формулами, наприклад, X=A.X*B.X, Y=A.Y*B.Y

Як приклад цікавого перетворення площини, наведемо приклад перетворення інверсії. Перетворення інверсії не вивчається за програмою шкільного курсу, але це важливе і цікаве перетворення, і тому ми пропонуємо “пограти” з інверсією за допомогою ДК, яке наведено нижче.

Рисунок 9.

3 ДК "Дослідження властивостей інверсії"

Перетворення інверсії не є рухом, це теж важливо, бо може скластися враження, що всі геометричні перетворення - рухи. На відміну від рухів інверсія не обов’язково перетворює пряму в пряму, а коло в коло, але прямі і кола переходять або у прямі, або у кола. Докладніше можна це дослідити експериментально за допомогою ДК "Дослідження властивостей інверсії".

З виразних прикладів використання інверсії можна навести приклад відомої задачі Аполонія.

Задача Аполонія

Побудувати коло, яке дотикається трьох заданих кіл.

Цю задачу було досліджено і розв’язано давньогрецьким математиком Аполонієм за допомогою циркуля та лінійки за допомогою більше 500 кроків (якщо за крок будемо вважати операцію проведення прямої за двома точками, операцію побудови кола за даним радіусом і центром кола та знаходження точки перетину двох кривих (двох прямих, двох кіл або кола і прямої). Якщо вважати за допустиму операцію побудову інверсної точки, інверсного образа кола та інверсного образа прямої, то коло Аполонія можна побудувати за 45 кроків, якщо ж виконувати операції побудови інверсних образів за допомогою циркуля та лінійки, то число кроків не буде перевищувати 100.

Загальна схема розв’язання задачі Аполонія така:

1. Обрати з трьох заданих кіл коло найменшого радіусу, нехай його радіус буде дорівнювати

r (не більше 4 операцій).

- Побудувати три кола, які будуть концентричні вихідним колам, радіуси яких зменшені на
r (при цьому найменше коло перетвориться на точку, яку позначимо літерою O) (не більше 12 операцій).

- Побудувати довільне коло з центром у точці
O і довільним радіусом, наприклад, радіусом r (це буде коло інверсії)) (1 операція).

- Побудувати інверсні образи побудованих кіл (у випадку, коли коло не проходить через центр інверсії його образом буде коло, у протилежному випадку – пряма лінія) (2 операції).

- Побудувати спільну дотичну до побудованих кіл – образів вихідних кіл (не більше 21 операцій).

- Побудувати інверсний образ спільної дотичної (1 операція).

- Побудувати коло, концентричне образу спільної дотичної, радіус якого збільшений на
r – це і буде шукане коло (4 операції).ї

Зауважимо також, що серед інструментів пакета

DG є інструмент Інверсна точка. Для побудови інверсної точки відносно заданого кола треба клацнути мишкою на колі, а потім на точці (або навпаки – спочатку на точці, а потім на колі інверсії).

Завдання 82.1

(підвищеної складності)

1. Створіть макрос для побудови образу кола при інверсії (неособливий випадок – коли коло не проходить через центр кола інверсії).
   Зауважити, образ такого кола є коло, проте центр кола не переходить у центр інверсного кола. (Цей макрос забезпечить напівавтоматичне виконання пункту 4).

2. Створіть макрос для побудови образу прямої (неособливий випадок –коли пряма не проходить через центр інверсії). (Цей макрос забезпечить напівавтоматичне виконання пункту 6).

3. Створіть макрос для побудови кола Аполлонія для трьох заданих кіл.

Завдання 82.2

Побудуйте ДК “Афінні перетворення” для експериментального дослідження властивостей перетворень площини, які задаються формулами:

Рисунок 9.

4 ДК "Афінні перетворення"

Зауваження

Усі рухи площини є афінними перетвореннями, тобто усі види рухів, які будуть вивчатись у курсі геометрії є окремими випадками афінних перетворень. Більш за те, усі перетворення подібності, які також будуть вивчатися у даному курсі пізніше є афінними перетвореннями. Не всі перетворення у світі афінні - перетворення інверсії не є афінним перетворенням. Афінні перетворення вивчаються в університетському курсі аналітичної геометрії.

84. Симетрія відносно точки

Для дослідження властивостей перетворення симетрії відносно точки підготуємо ДК “Дослідження перетворення симетрії відносно точки” згідно наведеному нижче рисунку. Не будемо обговорювати детально процес розробки цього ДК – воно аналогічно розробці ДК "Дія перетворення на геометричні примітиви". Виняток складає тільки дія симетрії на многокутник, у нашому випадку – шестикутник, на чому ми і зупинимось.

Побудова ДК “Дослідження перетворення симетрії відносно точки”

- Побудуйте елементи ДК для дослідження дії перетворення симетрії на геометричні примітиви аналогічно побудовам ДК “Дія перетворення на геометричні примітиви"

- Побудуйте елементи ДК для дослідження дії перетворення симетрії на многокутник:

1. Побудуйте многокутник, скориставшись для цього інструментом Многокутник

;

- Побудуйте образи вершин многокутника при центральній симетрії, скориставшись інструментом Симетрична точка
;

- Побудуйте образ многокутника, скориставшись інструментом Многокутник
,

Зауваження

Твердження, що образом многокутника при центральній симетрії є многокутник, утворений образами вершин вихідного многокутника, випливає з того, що центральна симетрія є рух. Звідси випливає, що образом відрізка прямої є відрізок прямої тієї ж довжини, образом трикутника – рівний йому трикутник, образом многокутника – рівний йому многокутник.

Завдання 84.1

Проведіть комп’ютерні експерименти з ДК “Дослідження перетворення симетрії відносно точки”

1. Дослідіть дію перетворення на точку:

1. Перетягуйте точку A за допомогою миші

і спостерігайте:

- За кривими, які при цьому утворюються слідами точок
A та B ;

- За координатами рухомих точок
A та B;

- Вилучіть сліди точок
A та B, скориставшись командою Вилучити слід (цю команду можна вибрати або у контекстному меню цих точок, або у вікнах діалогу Властивості цих точок);

- Перетягуйте
точку O за допомогою миші і спостерігайте:

- За кривими, які при цьому утворюються слідами точок
O та B ;

- За координатами рухомих точок
O та B;

- Повторіть пункти 1.1 та 1.3 з натиснутою клавішею
Shift;

- Дослідіть перетворення координат при симетрії відносно початку системи координат
:

- Перетягніть центр симетрії (точку
O) у початок системи координат (для спрощення перетягування виконуйте з натиснутою клавішею Shift);

- Перетягуйте за допомогою миші точку
A і спостерігайте за зміною координат точок A і B;

- Зробіть висновки щодо перетворення координат точки при симетрії відносно початку координат;

- Дослідіть перетворення координат при симетрії точки при симетрії відносно довільної точки.

- Зробіть висновки щодо дії на точку геометричного перетворення
паралельного перенесення;

1. Дослідіть дію симетрії відносно точки на геометричні примітиви
(пряму, промінь, відрізок, многокутник, коло):

1. Побудуйте геометричні примітиви
(пряму, промінь, відрізок, коло);
після цього ДК повинно прийняти вигляд, який відповідає наступному рисунку.

Рисунок 9.

5 ДК "Дослідження симетрії відносно точки"

- Дослідіть дію симетрії відносно точки на пряму
, скориставшись інструментом Динамічний слід:

- Підведіть точку
A до прямої;

- Прив’яжіть точку
A до прямої, скориставшись командою Прив’язати до фігури з контекстного меню точки A;

- Побудуйте динамічний слід точки
B, скориставшись інструментом Динамічний слід:

- Вибрати інструмент Динамічний слід на панелі інструментів, клацнути на точці
A, клацнути на точці B;

- Дослідіть дію симетрії відносно точки на пряму
, змінюючи положення точок A та O;
- Дослідіть дію симетрії відносно точки на промінь
(аналогічно пункту 2.2 дослідження дії перетворення на пряму);
- Дослідіть дію симетрії відносно точки на відрізок
(аналогічно пункту 2.2 дослідження дії перетворення на пряму);
- Дослідіть дію симетрії відносно точки на коло
(аналогічно пункту 2.2 дослідження дії перетворення на пряму);
- Дослідіть дію симетрії відносно точки на многокутник
(аналогічно пункту 2.2 дослідження дії перетворення на пряму);

- Зробіть висновки щодо дії симетрії відносно точки на геометричні примітиви
;

Розглянемо використання центральної симетрії для розв’язування задач.

Задача 74.10

Дано прямі, які перетинаються, і точка, що не лежить на цих прямих. Побудуйте відрізок з кінцями на даних прямих і серединою в даній точці.

Розв’язок цієї задачі у загальному вигляді подано на наступному рисунку.

Вимірюваннями елементів можна експериментально впевнитись, що побудований відрізок –шуканий.

Доведення правильності знайденого рішення очевидне – кінці відрізка симетричні відносно заданої точки

E за побудовою.

Дослідження розв’язку – за яких умов, скільки розв’язків має задача теж не викликає складнощів – якщо вихідні прямі перетинались, то пряма, симетрична до однієї із прямих має єдину точку перетину з другою прямою, а отже, розв’язок завжди існує і єдиний.

Залишається тільки одне питання – а як до такого розв’язку можна дійти самостійно, звідки виникло бажання побудувати симетричну пряму? Визначеної відповіді на це питання немає і бути не може – доведено, що універсальних правил знаходження розв’язків задач не існує, це – алгоритмічно нерозв’язувана задача. Проте, ми говорили, що перетворення відіграють центральну роль у побудові геометрії, перетворення – один з найпродуктивніших методів геометрії. І тому, якщо в умовах задачі фігурує точка і якийсь елемент задачі симетричний відносно неї (у нашому випадку – шуканий відрізок), то цілком природно поекспериментувати з перетворенням симетрії відносно заданої точки.

Завдання 84.1

- Сформулюйте задачі, аналогічні задачі 74.10, в яких одна чи обидві прямі замінені на кола.

- Побудуйте ДК для розв’язування сформульованих задач.

- Дослідіть отримані розв’язки експериментально.

- Доведіть дедуктивно правильність розв’язків, виконайте дослідження умов, за яких задачі мають розв’язки.

85. Симетрія відносно прямої

Для дослідження дії симетрії відносно прямої на геометричні примітиви та многокутники сконструюйте ДК “Симетрія відносно прямої”. Ми не будемо обговорювати деталі побудови цього ДК – воно цілком аналогічне побудові ДК “Симетрія відносно точки”. Наведемо зображення варіанта такого ДК (зрозуміло, ДК можна запустити клацнувши мишкою на зображенні, якщо Ви користуєтесь електронним варіантом тексту, або запустивши його з

CD- диску).

Рисунок 9.

6 ДК "Дія симетрії відносно прямої на примітиви"

Завдання 85.1

Самостійно побудуйте ДК для дослідження та наближеного розв’язку задачі 9.24, умову якої наведено нижче. (Вказівка: скористайтеся симетрією відносно прямої).

Задача 9.24

Дано три прямі a, b, c, що перетинаються. Як побудувати відрізок, перпендикулярний до прямої b, середина якого лежить на прямій b, а кінці на прямих a і c. Чи завжди задача має розв’язок?

86. Поворот

Для дослідження властивостей повороту підготуємо ДК “Дослідження властивостей повороту”, згідно з наведеним нижче рисунком. Розробка ДК не потребує на особливі коментарі і розробляється за тією ж схемою, що і ДК для досліджень властивостей симетрії відносно точки та симетрії відносно прямої. Єдина складність полягає у тому, що операції Повернути точку немає серед стандартних інструментів

DG. Це не біда – розробимо відповідний макрос Rotate. Ми пам’ятаємо, що все, що можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки – можна побудувати в DG. Побудову цього макросу обговоримо у кінці розділу, а для підготовки ДК можна скористатися готовим макросом Rotate, який зберігається у папці PupilGuide\9 Movies\9 Movies(DGF). Нагадаємо, що для завантаження макросу треба виконати команду Макроси\Завантажити макроси. Для використання макросу треба вибрати команду Макроси\Rotate, після чого вказати параметри макросу:

- Центр повороту;

- Кут (як звичайно, трьома точкам: точка на стороні, вершина, точка на стороні, у напрямку проти годинникової стрілки);

- Точку (яку слід повертати).

Рисунок 9.

7 ДК "Дослідження властивостей повороту"

Дослідження властивостей повороту виконайте згідно тексту, наведеного на зображенні ДК.

Завдання 86.1

Дослідіть властивості дії на точку композиції двох симетрій відносно двох прямих, що перетинаються. Для дослідження сконструюйте ДК “Композиція двох симетрій відносно прямих”.

Побудова макросу

Rotate повороту точки
відносно заданої точки на заданий кут.

- Почніть нове ДК;

- Побудуйте три точки
A, B, C, які визначають кут повороту;

- Побудуйте центр повороту
– точку D;

- Побудуйте точку
E (на яку буде діяти поворот);

- Побудуйте аналітичну точку
F, скориставшись командою Фігури\Аналітично\Точка і задавши координати точки виразами:
X=D.X+DE*cos(Xangle(D,E)+OAngle(A,B,C))
Y=D.Y+DE*sin(Xangle(D,E)+OAngle(A,B,C));

- Виберіть команду Макрос\Створити макрос;

- Укажіть вихідні параметри макросу (точки
D, A, B, C, E);

- Виберіть команду Завершити ввід вхідних даних на панелі створення макросу (наступна за стандартною панеллю);

- Укажіть результуючі параметри макросу – точку
F;

- Скорегуйте, якщо в цьому є потреба, підказки пакета у рядку статусу при вводі параметрів макросу.

- Збережіть макрос у бажаному місці, скориставшись для цього відповідним вікном діалогу.

- Проведіть тестування розробленого макросу.

Завдання 86.1

Композиція рухів є рухом. Дослідіть рух, який є композицією двох поворотів.

- Дослідіть рух, який є композицією двох рухів зі співпадаючими центрами.

- Дослідіть композицію двох рухів, у яких центри не співпадають.

Варіант ДК “Дослідження композиції поворотів” наведено на рисунку.

Зауваження

За допомогою комп’ютерних експериментів неважко здогадатися, що композиція двох поворотів у загальному випадку є також поворотом, і ці ж експерименти допоможуть визначати параметри результуючого повороту. Але як довести отриманий експериментально результат? Допомогти може дослідження композиції двох симетрій відносно прямих.

На малюнку “ДК Дослідження композиції поворотів” виконані побудови, які для експериментальної перевірки того, що композиція поворотів є також поворот. Якщо це дійсно так, то центр повороту можна знайти за допомогою побудов, що наведено на рисунку – це буде точка перетину двох серединних перпендикулярів до пар точок “прообраз” – “образ” для композиції поворотів. Результати вимірів показують, що дію композиції дійсно можна отримати в результаті повороту навколо знайденої точки. Більш за те, результати динамічних вимірювань показують, що величина цього повороту дорівнює алгебраїчній сумі двох поворотів, які утворюють композицію. Зрозуміло, що все це ми перевірили тільки для деякої кількості

креслень і перевірили з деякою заданою точністю, проте вірогідність справедливості цього факту у цілому, дуже велика (за особистим враженням можна сказати, що після комп’ютерного підтвердження гіпотези з’являється зовсім нове почуття впевненості у справедливості відповідної теореми і залишається тільки винахідницька задача – сконструювати, побудувати доведення, сумнівів немає, що воно існує).

Рисунок 9.

8 ДК "Дослідження властивостей композиції поворотів"

Чи може допомогти комп’ютер на цьому етапі – етапі пошуку дедуктивного доведення? Зрозуміло, треба досліджувати конфігурацію, яку утворюють три точки – два центри вихідних поворотів та центр гіпотетичного повороту. Дослідимо трикутник, який вони утворюють – побудуємо сторони і виміряємо його кути та довжини сторін (результат наведено на наступному рисунку).

“Еврика!” – два кути побудованого трикутника вдвічі менше за кути вихідних поворотів. Тепер нам буде у нагоді результат дослідження завдання 86.1, згідно якому композиція двох симетрій відносно прямих, що перетинаються є поворот відносно точки перетину на подвійний кут, що утворюють ці прямі (кут утворюється осями симетрії у напряму проти годинникової стрілки). Позначимо:

- симетрія відносно прямої ;

- симетрія відносно прямої ;

- симетрія відносно прямої .

Згідно результатів дослідження завдання 86.1, перший поворот дорівнює композиції симетрій

, другий – композиції , а композицію цих двох поворотів дорівнює (). Виконуючи тотожні перетворення, отримаємо: ()=. За результатом того ж дослідження завдання 86.1, це і означає що композиція буде дорівнювати повороту навколо точки перетину прямих, що утворюють з лінією центрів повороту половинні кути, відкладені відповідно проти і за годинниковою стрілками на кут, що дорівнює алгебраїчній сумі вихідних кутів повороту.

Таким чином, ми повністю розв’язали завдання 86.2 і дали два алгоритми побудови центра результуючого повороту. Комп’ютерні експерименти допомогли на усіх етапах дослідження – від формулювання гіпотези до її доведення.

Рисунок 9.

9 "Дослідження властивостей композиції поворотів"

Означення

Говорять, що геометрична фігура має поворотну симетрію порядку n, якщо вона суміщається з собою при повороті навколо деякої точки (яка називається центром симетрії цієї фігури) на кут 360° /n. Наприклад, трикутник має поворотну симетрію третього порядку відносно свого центру.

Для побудови та дослідження многокутників з поворотною симетрією n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 розробимо ДК “Поворотна симетрія”, зображення якого подано на рисунку.

Спочатку доцільно розробити макрос Rotate6Polygon, для повороту навколо будь-якої точки на будь-який кут будь-якого шестикутника.

Розробка макросу Rotate6Polygon

- Побудуйте довільну точку – центр повороту;

- Побудуйте довільні три точки, які будуть визначати величину кута повороту;

- Побудуйте довільний шестикутник;

- Побудуйте образи вершин шестикутника при повороті навколо центру на заданий кут, скориставшись макросом
Rotate (для цього його треба спочатку макрос завантажити, скориставшись командою Макроси\Завантажити Макрос);

- Побудуйте шестикутник з вершинами в образах вершин вихідного шестикутника (слід стежити за порядком поєднання вершин – він повинен відповідати порядку вершин вихідного шестикутника, інакше образ шестикутника не буде рівним вихідному шестикутника);

- Відформуйте отриманий шестикутник згідно Вашому смаку (наприклад, доцільно вилучити позначки вершин);

- Виберіть команду Створити макрос з розділу головного меню Макроси і виконуйте дії згідно підказкам вікон діалогу:

- Задайте вихідні параметри макросу (перша точка - центр кола, три точки – кут (у відповідності з завданням кута при геометричних побудовах));

- Вкажіть результуючі параметри – многокутник;

- Вкажіть ім’я макросу

Rotate6Polygon (під таким ім’ям він буде фігурувати у списку завантажених макросів у розділі головного меню пакета Макроси);

- Збережіть макрос на диску під ім’ям
Rotate6Polygon.DGM

- Протестуйте макрос, для чого почніть нове креслення, вкажіть 10 точок (центр, кут, шестикутник) і виконайте макрос (вибрати в меню команду Макроси.
Rotate6Polygon, вкажіть параметри макросу).

Побудова ДК “Поворотна симетрія”

- Побудуйте кут із центром у початку системи координат, який дорівнює 45°
;

- Побудуйте шестикутник (шестикутник вибрано тільки для того, щоб вистачало ступенів свободи для побудови різноманітних шестикутників), одна з вершин якого розташовано у початку системи координат, дві суміжні на сторонах кута і три довільним чином розташовані в середині кута;

- Побудуйте образ вихідного многокутника при повороті навколо початку системи координат на кут, який дорівнює вихідному кута, скориставшись макросом
Rotate6Polygon;

- Побудуйте образ многокутника, який було отримано на попередньому кроці, при повороті навколо початку системи координат на кут, який дорівнює вихідному кута, скориставшись макросом
Rotate6Polygon;

- Повторити попередній крок ще 6 разів, поки не буде отримано фігуру, яку утворюють вихідний многокутник і сім його образів при поворотах, які кратні базовому куту.

Рисунок 9.

10 ДК “Поворотна симетрія”

Розмаїття фігур, які можна побудувати за допомогою ДК “Поворотна симетрія” включає в себе правильні многокутники 2-8 порядків, різноманітні зірки 2-16 порядків. Це - своєрідний електронний “поворотний калейдоскоп”, якого не можна створити оптичними пристроями, за аналогією із “симетричним калейдоскопом”, де симетрії відносно прямих реалізує система дзеркал. На рисунках наведено приклади фігур, які можна отримати за допомогою ДК

“Поворотна симетрія”.

Рисунок 9.

11 Приклад фігури з поворотною симетрією 5.

Рисунок 9.

12 "Магія поворотної симетрії"

Якщо Вам сподобався “Поворотний калейдоскоп”, то по аналогії можна побудувати “Калейдоскоп симетрій” – в якому многокутник базового кута багатократно симетрично відбивається від своєї сторони, що

належить стороні кута. На рисунку наведено цей побудувати “Калейдоскоп симетрій”.

Побудова цього ДК аналогічна побудові “Поворотна симетрія” і тому ми не будемо її детально обговорювати. Зауважимо тільки загальну схему побудови:

- Розробити макрос
Reflect7Angle побудови симетричного образу будь-якого семикутника відносно будь-якої прямої (за аналогією з розробкою макросу Rotate6Angle);

- Побудувати кут за допомогою двох променів, які виходять із спільної точки;

- Побудувати семикутник у границях кута, у якого дві сторони лежать на сторонах кута;

- Побудувати семикутник, симетричний заданому відносно прямої лінії, на якій лежить сторона вихідного семикутника;

- Послідовно побудувати семикутники, які симетричні семикутнику, який побудовано на попередньому кроці, повторюючи цей процес 11 разів, так що результуюча фігура утворюється 12 рівними 7-кутниками.

Завдання 86.2

- Побудуйте правильний многокутник з 2, 3, .. 11, 12 сторонами.

- Побудуйте правильну зірку з 2, 3, .. 11, 12 променями.

- Побудуйте сніжинку, яка має 3 осі симетрії та поворотну симетрію 4 порядку.

- Дослідіть, для яких m і n можна побувати сніжинку з m осями симетрії і поворотною симетрією порядку n.

Завдання 86.3

Сконструюйте електронну модель реального калейдоскопу.